Matemática básica Ejemplos

$| 2 z - 5 | + 2 | 10 - 4 z | = 15$

Paso 1

Resta $| 2 z - 5 |$ de ambos lados de la ecuación.

$2 | 10 - 4 z | = 15 - | 2 z - 5 |$

Paso 2

Divide cada término en $2 | 10 - 4 z | = 15 - | 2 z - 5 |$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 | 10 - 4 z | = 15 - | 2 z - 5 |$ por $2$ .

$\frac{2 | 10 - 4 z |}{2} = \frac{15}{2} + \frac{- | 2 z - 5 |}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 | 10 - 4 z |}{2} = \frac{15}{2} + \frac{- | 2 z - 5 |}{2}$

Paso 2.2.1.2

Divide $| 10 - 4 z |$ por $1$ .

$| 10 - 4 z | = \frac{15}{2} + \frac{- | 2 z - 5 |}{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$| 10 - 4 z | = \frac{15}{2} - \frac{| 2 z - 5 |}{2}$

Paso 3

Resuelve $| 2 z - 5 |$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{15}{2} - \frac{| 2 z - 5 |}{2} = | 10 - 4 z |$ .

$\frac{15}{2} - \frac{| 2 z - 5 |}{2} = | 10 - 4 z |$

Paso 3.2

Resta $\frac{15}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{| 2 z - 5 |}{2} = | 10 - 4 z | - \frac{15}{2}$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{| 2 z - 5 |}{2}) = - 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$

Paso 3.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{| 2 z - 5 |}{2})$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{| 2 z - 5 |}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- | 2 z - 5 |}{2} = - 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$

Paso 3.4.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- | 2 z - 5 |}{2} = - 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$

Paso 3.4.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- | 2 z - 5 |}{2} = - 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$

Paso 3.4.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - | 2 z - 5 | = - 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$

Paso 3.4.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.4.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 | 2 z - 5 | = - 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$

Paso 3.4.1.1.2.2

Multiplica $| 2 z - 5 |$ por $1$ .

$| 2 z - 5 | = - 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 2 (| 10 - 4 z | - \frac{15}{2})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| 2 z - 5 | = - 2 | 10 - 4 z | - 2 (- \frac{15}{2})$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{2}$ al numerador.

$| 2 z - 5 | = - 2 | 10 - 4 z | - 2 (\frac{- 15}{2})$

Paso 3.4.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$| 2 z - 5 | = - 2 | 10 - 4 z | + 2 (- 1) \frac{- 15}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$| 2 z - 5 | = - 2 | 10 - 4 z | + 2 \cdot - 1 \frac{- 15}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$| 2 z - 5 | = - 2 | 10 - 4 z | - - 15$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

$| 2 z - 5 | = - 2 | 10 - 4 z | + 15$

Paso 4

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 z - 5 = \pm (- 2 | 10 - 4 z | + 15)$

Paso 5

El resultado consta de las partes positiva y negativa de $\pm$ .

$2 z - 5 = - 2 | 10 - 4 z | + 15$

$2 z - 5 = - (- 2 | 10 - 4 z | + 15)$

Paso 6

Resuelve $2 z - 5 = - 2 | 10 - 4 z | + 15$ en $z$ .

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Paso 6.1

Resuelve $| 10 - 4 z |$

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Paso 6.1.1

Reescribe la ecuación como $- 2 | 10 - 4 z | + 15 = 2 z - 5$ .

$- 2 | 10 - 4 z | + 15 = 2 z - 5$

Paso 6.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $| 10 - 4 z |$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.2.1

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 | 10 - 4 z | = 2 z - 5 - 15$

Paso 6.1.2.2

Resta $15$ de $- 5$ .

$- 2 | 10 - 4 z | = 2 z - 20$

Paso 6.1.3

Divide cada término en $- 2 | 10 - 4 z | = 2 z - 20$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Divide cada término en $- 2 | 10 - 4 z | = 2 z - 20$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 | 10 - 4 z |}{- 2} = \frac{2 z}{- 2} + \frac{- 20}{- 2}$

Paso 6.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 | 10 - 4 z |}{- 2} = \frac{2 z}{- 2} + \frac{- 20}{- 2}$

Paso 6.1.3.2.1.2

Divide $| 10 - 4 z |$ por $1$ .

$| 10 - 4 z | = \frac{2 z}{- 2} + \frac{- 20}{- 2}$

Paso 6.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 2$ .

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Paso 6.1.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 z$ .

$| 10 - 4 z | = \frac{2 (z)}{- 2} + \frac{- 20}{- 2}$

Paso 6.1.3.3.1.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{z}{- 1}$ .

$| 10 - 4 z | = - 1 \cdot z + \frac{- 20}{- 2}$

Paso 6.1.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot z$ como $- z$ .

$| 10 - 4 z | = - z + \frac{- 20}{- 2}$

Paso 6.1.3.3.1.3

Divide $- 20$ por $- 2$ .

$| 10 - 4 z | = - z + 10$

Paso 6.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$10 - 4 z = \pm (- z + 10)$

Paso 6.3

El resultado consta de las partes positiva y negativa de $\pm$ .

$10 - 4 z = - z + 10$

$10 - 4 z = - (- z + 10)$

Paso 6.4

Resuelve $10 - 4 z = - z + 10$ en $z$ .

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Paso 6.4.1

Mueve todos los términos que contengan $z$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.4.1.1

Suma $z$ a ambos lados de la ecuación.

$10 - 4 z + z = 10$

Paso 6.4.1.2

Suma $- 4 z$ y $z$ .

$10 - 3 z = 10$

Paso 6.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 z = 10 - 10$

Paso 6.4.2.2

Resta $10$ de $10$ .

$- 3 z = 0$

Paso 6.4.3

Divide cada término en $- 3 z = 0$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 6.4.3.1

Divide cada término en $- 3 z = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Paso 6.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 6.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Paso 6.4.3.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{0}{- 3}$

Paso 6.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.3.1

Divide $0$ por $- 3$ .

$z = 0$

Paso 6.5

Resuelve $10 - 4 z = - (- z + 10)$ en $z$ .

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Paso 6.5.1

Simplifica $- (- z + 10)$ .

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Paso 6.5.1.1

Reescribe.

$10 - 4 z = 0 + 0 - (- z + 10)$

Paso 6.5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$10 - 4 z = - (- z + 10)$

Paso 6.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 - 4 z = - - z - 1 \cdot 10$

Paso 6.5.1.4

Multiplica $- - z$ .

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Paso 6.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$10 - 4 z = 1 z - 1 \cdot 10$

Paso 6.5.1.4.2

Multiplica $z$ por $1$ .

$10 - 4 z = z - 1 \cdot 10$

Paso 6.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$10 - 4 z = z - 10$

Paso 6.5.2

Mueve todos los términos que contengan $z$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$10 - 4 z - z = - 10$

Paso 6.5.2.2

Resta $z$ de $- 4 z$ .

$10 - 5 z = - 10$

Paso 6.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.5.3.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 z = - 10 - 10$

Paso 6.5.3.2

Resta $10$ de $- 10$ .

$- 5 z = - 20$

Paso 6.5.4

Divide cada término en $- 5 z = - 20$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 6.5.4.1

Divide cada término en $- 5 z = - 20$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 z}{- 5} = \frac{- 20}{- 5}$

Paso 6.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 6.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 z}{- 5} = \frac{- 20}{- 5}$

Paso 6.5.4.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{- 20}{- 5}$

Paso 6.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.4.3.1

Divide $- 20$ por $- 5$ .

$z = 4$

Paso 6.6

Consolida las soluciones.

$z = 0, 4$

Paso 7

Resuelve $2 z - 5 = - (- 2 | 10 - 4 z | + 15)$ en $z$ .

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Paso 7.1

Resuelve $| 10 - 4 z |$

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Paso 7.1.1

Reescribe la ecuación como $- (- 2 | 10 - 4 z | + 15) = 2 z - 5$ .

$- (- 2 | 10 - 4 z | + 15) = 2 z - 5$

Paso 7.1.2

Simplifica $- (- 2 | 10 - 4 z | + 15)$ .

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Paso 7.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (- 2 | 10 - 4 z |) - 1 \cdot 15 = 2 z - 5$

Paso 7.1.2.2

Multiplica.

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Paso 7.1.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 | 10 - 4 z | - 1 \cdot 15 = 2 z - 5$

Paso 7.1.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$2 | 10 - 4 z | - 15 = 2 z - 5$

Paso 7.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $| 10 - 4 z |$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.3.1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$2 | 10 - 4 z | = 2 z - 5 + 15$

Paso 7.1.3.2

Suma $- 5$ y $15$ .

$2 | 10 - 4 z | = 2 z + 10$

Paso 7.1.4

Divide cada término en $2 | 10 - 4 z | = 2 z + 10$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1.4.1

Divide cada término en $2 | 10 - 4 z | = 2 z + 10$ por $2$ .

$\frac{2 | 10 - 4 z |}{2} = \frac{2 z}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 7.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 | 10 - 4 z |}{2} = \frac{2 z}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 7.1.4.2.1.2

Divide $| 10 - 4 z |$ por $1$ .

$| 10 - 4 z | = \frac{2 z}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 7.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.4.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$| 10 - 4 z | = \frac{2 z}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 7.1.4.3.1.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$| 10 - 4 z | = z + \frac{10}{2}$

Paso 7.1.4.3.1.2

Divide $10$ por $2$ .

$| 10 - 4 z | = z + 5$

Paso 7.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$10 - 4 z = \pm (z + 5)$

Paso 7.3

El resultado consta de las partes positiva y negativa de $\pm$ .

$10 - 4 z = z + 5$

$10 - 4 z = - (z + 5)$

Paso 7.4

Resuelve $10 - 4 z = z + 5$ en $z$ .

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Paso 7.4.1

Mueve todos los términos que contengan $z$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.4.1.1

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$10 - 4 z - z = 5$

Paso 7.4.1.2

Resta $z$ de $- 4 z$ .

$10 - 5 z = 5$

Paso 7.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.4.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 z = 5 - 10$

Paso 7.4.2.2

Resta $10$ de $5$ .

$- 5 z = - 5$

Paso 7.4.3

Divide cada término en $- 5 z = - 5$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 7.4.3.1

Divide cada término en $- 5 z = - 5$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 z}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 7.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 7.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 z}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 7.4.3.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 7.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.3.3.1

Divide $- 5$ por $- 5$ .

$z = 1$

Paso 7.5

Resuelve $10 - 4 z = - (z + 5)$ en $z$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica $- (z + 5)$ .

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Paso 7.5.1.1

Reescribe.

$10 - 4 z = 0 + 0 - (z + 5)$

Paso 7.5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$10 - 4 z = - (z + 5)$

Paso 7.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 - 4 z = - z - 1 \cdot 5$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$10 - 4 z = - z - 5$

Paso 7.5.2

Mueve todos los términos que contengan $z$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.5.2.1

Suma $z$ a ambos lados de la ecuación.

$10 - 4 z + z = - 5$

Paso 7.5.2.2

Suma $- 4 z$ y $z$ .

$10 - 3 z = - 5$

Paso 7.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.5.3.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 z = - 5 - 10$

Paso 7.5.3.2

Resta $10$ de $- 5$ .

$- 3 z = - 15$

Paso 7.5.4

Divide cada término en $- 3 z = - 15$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 7.5.4.1

Divide cada término en $- 3 z = - 15$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- 15}{- 3}$

Paso 7.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 7.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- 15}{- 3}$

Paso 7.5.4.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{- 15}{- 3}$

Paso 7.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.4.3.1

Divide $- 15$ por $- 3$ .

$z = 5$

Paso 7.6

Consolida las soluciones.

$z = 1, 5$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$z = 0, 4, 1, 5$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$z < 0$

$0 < z < 1$

$1 < z < 4$

$4 < z < 5$

$z > 5$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $z < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $z < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = - 2$

Paso 10.1.2

Reemplaza $z$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$| 2 (- 2) - 5 | + 2 | 10 - 4 \cdot - 2 | = 15$

Paso 10.1.3

$45$ del lado izquierdo no es igual a $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < z < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < z < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 0.5$

Paso 10.2.2

Reemplaza $z$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$| 2 (0.5) - 5 | + 2 | 10 - 4 \cdot 0.5 | = 15$

Paso 10.2.3

$20$ del lado izquierdo no es igual a $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < z < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < z < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $z$ con $2$ en la desigualdad original.

$| 2 (2) - 5 | + 2 | 10 - 4 \cdot 2 | = 15$

Paso 10.3.3

$5$ del lado izquierdo no es igual a $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $4 < z < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $4 < z < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 4.5$

Paso 10.4.2

Reemplaza $z$ con $4.5$ en la desigualdad original.

$| 2 (4.5) - 5 | + 2 | 10 - 4 \cdot 4.5 | = 15$

Paso 10.4.3

$20$ del lado izquierdo no es igual a $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.5

Prueba un valor en el intervalo $z > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.5.1

Elije un valor en el intervalo $z > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$z = 8$

Paso 10.5.2

Reemplaza $z$ con $8$ en la desigualdad original.

$| 2 (8) - 5 | + 2 | 10 - 4 \cdot 8 | = 15$

Paso 10.5.3

$55$ del lado izquierdo no es igual a $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$z < 0$ Falso

$0 < z < 1$ Falso

$1 < z < 4$ Falso

$4 < z < 5$ Falso

$z > 5$ Falso

$z < 0$ Falso

$0 < z < 1$ Falso

$1 < z < 4$ Falso

$4 < z < 5$ Falso

$z > 5$ Falso

Paso 11

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 12

Excluye las soluciones que no hagan que $| 2 z - 5 | + 2 | 10 - 4 z | = 15$ sea verdadera.

$z = 4, 1$

Paso 13